859 Найти угол между касательной к графику функции у = f (x) в точке с абсциссой хо и осью Ох: 1) f (x) = x, x = 1; 3 3) f (x) = 2√x, x = 3; 3x+1 5) f (x) = e 2 , x = 0; 2) f (x) = 1, x = 1; x 18 √x 4) f (x) = , x = 3; 6) f (x) = ln (2x + 1), x = 2.

Угол между касательной к графику функции $$y = f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$ и осью Ox равен углу, тангенс которого равен значению производной функции в данной точке: $$tg(α) = f'(x_0)$$. То есть $$α = arctg(f'(x_0))$$.

1. $$f(x) = \frac{1}{3}x^3, x_0 = 1$$
   • Найдем производную функции: $$f'(x) = x^2$$
   • Вычислим значение производной в точке $$x_0 = 1$$: $$f'(1) = 1^2 = 1$$
   • Найдем угол: $$α = arctg(1) = \frac{π}{4}$$

   Ответ: $$α = \frac{π}{4}$$

2. $$f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = 1$$
   • Найдем производную функции: $$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$$
   • Вычислим значение производной в точке $$x_0 = 1$$: $$f'(1) = -\frac{1}{1^2} = -1$$
   • Найдем угол: $$α = arctg(-1) = -\frac{π}{4}$$

   Ответ: $$α = -\frac{π}{4}$$

3. $$f(x) = 2\sqrt{x}, x_0 = 3$$
   • Найдем производную функции: $$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$$
   • Вычислим значение производной в точке $$x_0 = 3$$: $$f'(3) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
   • Найдем угол: $$α = arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{π}{6}$$

   Ответ: $$α = arctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$$

4. $$f(x) = \frac{18}{\sqrt{x}}, x_0 = 3$$
   • Найдем производную функции: $$f'(x) = -\frac{9}{x\sqrt{x}}$$
   • Вычислим значение производной в точке $$x_0 = 3$$: $$f'(3) = -\frac{9}{3\sqrt{3}} = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$$
   • Найдем угол: $$α = arctg(-\sqrt{3}) = -\frac{π}{3}$$

   Ответ: $$α = -\frac{π}{3}$$

5. $$f(x) = e^{\frac{3x+1}{2}}, x_0 = 0$$
   • Найдем производную функции: $$f'(x) = \frac{3}{2}e^{\frac{3x+1}{2}}$$
   • Вычислим значение производной в точке $$x_0 = 0$$: $$f'(0) = \frac{3}{2}e^{\frac{1}{2}} = \frac{3\sqrt{e}}{2}$$
   • Найдем угол: $$α = arctg(\frac{3\sqrt{e}}{2})$$

   Ответ: $$α = arctg(\frac{3\sqrt{e}}{2})$$

6. $$f(x) = ln (2x + 1), x_0 = 2$$
   • Найдем производную функции: $$f'(x) = \frac{2}{2x+1}$$
   • Вычислим значение производной в точке $$x_0 = 2$$: $$f'(2) = \frac{2}{2 \cdot 2 + 1} = \frac{2}{5}$$
   • Найдем угол: $$α = arctg(\frac{2}{5})$$

   Ответ: $$α = arctg(\frac{2}{5})$$