242. Найти значения x, при которых значение производной функции f(x) равно 0; положительно; отрицательно, если: 1) f(x) = -3x³ + 2x² + 4; 2) f(x) = (x + 3)³(x - 4)²; 3) f(x) = 3x+1/x-2, 4) f(x) = x² + 2/x.

1) f(x) = -3x³ + 2x² + 4

Производная: f'(x) = -9x² + 4x

Равна 0: -9x² + 4x = 0 → x(-9x + 4) = 0 → x = 0 или x = 4/9

Положительна: -9x² + 4x > 0 → x(4 - 9x) > 0 → 0 < x < 4/9

Отрицательна: x < 0 или x > 4/9

2) f(x) = (x + 3)³(x - 4)²

Производная: f'(x) = 3(x + 3)²(x - 4)² + (x + 3)³ \cdot 2(x - 4) = (x + 3)²(x - 4)(3(x - 4) + 2(x + 3)) = (x + 3)²(x - 4)(5x - 6)

Равна 0: x = -3, x = 4, x = 6/5

Положительна: (x - 4)(5x - 6) > 0 при x > 4 или x < 6/5 (кроме x = -3)

Отрицательна: 6/5 < x < 4

3) f(x) = (3x+1)/(x-2)

Производная: f'(x) = (3(x-2) - (3x+1))/(x-2)² = (3x - 6 - 3x - 1)/(x-2)² = -7/(x-2)²

Равна 0: не существует

Положительна: не существует

Отрицательна: x ≠ 2

4) f(x) = x² + 2/x

Производная: f'(x) = 2x - 2/x²

Равна 0: 2x - 2/x² = 0 → 2x³ - 2 = 0 → x³ = 1 → x = 1

Положительна: x > 1

Отрицательна: x < 1 (x ≠ 0)