14. Несколько юношей соревнуются в количестве мячей, заброшенных в баскетбольную корзину. Первый юноша забросил 3 мяча, а каждый следующий – в 2 раза больше, чем предыдущий. Сколько юношей участвовало в соревнованиях, если в корзину было заброшено 189 мячей?

Пусть $$n$$ – количество юношей. Количество мячей, заброшенных каждым юношей, образует геометрическую прогрессию с первым членом $$b_1 = 3$$ и знаменателем $$q = 2$$. Сумма $$n$$ членов геометрической прогрессии равна $$S_n = 189$$. Формула суммы $$n$$ членов геометрической прогрессии: $$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$$. Подставим известные значения: $$189 = \frac{3(2^n - 1)}{2 - 1}$$. Упростим: $$189 = 3(2^n - 1)$$. Разделим обе части на 3: $$63 = 2^n - 1$$. Добавим 1 к обеим частям: $$64 = 2^n$$. Так как $$64 = 2^6$$, то $$n = 6$$. **Ответ: 6**