Нездоровится – глагол с НЕ пишется слитно, так как глагол без НЕ не употребляется.

Объяснение:

Именно так! Правило гласит: глаголы с НЕ пишутся слитно, если они не употребляются без НЕ.

Пример:

• Нездоровится — слова «здоровится» не существует. Поэтому пишем слитно.

Другие примеры:

• Ненавидеть (нет слова «навидеть»)
• Недоумевать (нет слова «доумевать»)
• Несдобровать (нет слова «сдобровать»)

Когда пишем раздельно?

Если глагол без НЕ употребляется, то пишем раздельно.

• Не знал (есть глагол «знал»)
• Не хотел (есть глагол «хотел»)
• Не смотрел (есть глагол «смотрел»)

Вывод: В твоем случае «нездоровится» пишется слитно, потому что глагол без «не» не употребляется.