1.17. О плоскостях α и β и прямой а известно, что α ∩ β = с, a ⊂ α, а ∩ β = М. Докажите, что а ∩ c = M.

Дано:

• Плоскости α и β


• Прямая а


• α ∩ β = с


• a ⊂ α


• а ∩ β = М

Доказать: a ∩ c = M

Доказательство:

1. Т.к. α ∩ β = с, то прямая с является линией пересечения плоскостей α и β, т.е. с ⊂ α и с ⊂ β.


2. По условию, a ⊂ α, т.е. прямая а лежит в плоскости α.


3. Также дано, что а ∩ β = М, т.е. точка М является точкой пересечения прямой а и плоскости β, следовательно М ∈ а и M ∈ β.


4. Т.к. M ∈ β и с ⊂ β, то M ∈ с.


5. Т.к. M ∈ а и M ∈ с, то M является точкой пересечения прямой а и прямой с, т.е. а ∩ с = М.

Что и требовалось доказать.