Об 6.2. Решите системы уравнений методом подстановки: а) { xy = −2; x + y = 1 }; б) { 5x² + 2y = −3; x − y = 5 }; в) { x + 3y = 11; 2x + y² = 14 }; г) { x + y = 8; xy = 12 }.

а) Из суммы и произведения получаем уравнение для корней: \(t^2-t-2=0\), то есть \((t-2)(t+1)=0\). Числа \(x\) и \(y\) равны 2 и −1, поскольку их сумма равна 1, а произведение −2.

Решения: \((2;-1)\), \((-1;2)\).

б) Из второго уравнения \(y=x-5\). Подставим: \(5x^2+2(x-5)=-3\), поэтому \(5x^2+2x-7=0\). Разложение: \((x-1)(5x+7)=0\). Значит, \(x=1\) или \(x=-\frac75\). Тогда соответственно \(y=-4\) или \(y=-\frac{32}{5}\).

Решения: \((1;-4)\), \((-\frac75;-\frac{32}{5})\).

в) Из первого уравнения \(x=11-3y\). Подставим во второе: \(2(11-3y)+y^2=14\), откуда \(y^2-6y+8=0\), то есть \((y-2)(y-4)=0\). При \(y=2\), \(x=5\); при \(y=4\), \(x=-1\).

Решения: \((5;2)\), \((-1;4)\).

г) Числа \(x\) и \(y\) имеют сумму 8 и произведение 12, поэтому являются корнями уравнения \(t^2-8t+12=0\). Разложим: \((t-2)(t-6)=0\). Следовательно, \(x\) и \(y\) — числа 2 и 6 в любом порядке.

Решения: \((2;6)\), \((6;2)\).