Об 6.4. Решите системы уравнений методом подстановки: а) { x² + xy − y² = 11; x − 2y = 1 }; б) { xy + y² + x − 3y = 15; x + y = 5 }; в) { x² + xy − x − y = 2; x − y = 2 }; г) { x² + y² + 3xy = −1; x + 2y = 0 }.

а) Из второго уравнения \(x=1+2y\). Подставим в первое: \((1+2y)^2+(1+2y)y-y^2=11\), откуда \(5y^2+5y-10=0\), или \((y-1)(y+2)=0\). Значит, \(y=1\) или \(y=-2\). Тогда \(x=3\) или \(x=-3\).

Решения: \((3;1)\), \((-3;-2)\).

б) Из второго уравнения \(x=5-y\). Подстановка в первое упрощается так: \((5-y)y+y^2+(5-y)-3y=15\), откуда \(5+y=15\). Поэтому \(y=10\), а \(x=-5\).

Решение: \((-5;10)\).

в) Из второго уравнения \(x=y+2\). Первое уравнение можно записать как \((x+y)(x-1)=2\). Подставляя \(x=y+2\), получаем \(2(y+1)^2=2\), значит, \((y+1)^2=1\). Поэтому \(y=0\) или \(y=-2\), и соответственно \(x=2\) или \(x=0\).

Решения: \((2;0)\), \((0;-2)\).

г) Из второго уравнения \(x=-2y\). Подставим в первое: \(4y^2+y^2-6y^2=-1\), откуда \(y^2=1\). Поэтому \(y=1\) или \(y=-1\), а \(x=-2\) или \(x=2\).

Решения: \((-2;1)\), \((2;-1)\).