Объём куба равен 12. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

Решение:

Пусть ребро куба равно \( a \). Объём куба \( V_{\text{куба}} = a^3 \). По условию, \( a^3 = 12 \).

Рассмотрим вершину куба, из которой выходят три ребра. Плоскость проходит через середины двух рёбер, выходящих из этой вершины. Пусть эти рёбра лежат вдоль осей X и Y, а их середины — точки \( M \) и \( N \) с координатами \( (a/2, 0, 0) \) и \( (0, a/2, 0) \) соответственно. Третье ребро, выходящее из той же вершины, лежит вдоль оси Z. Плоскость параллельна этому ребру, что означает, что она перпендикулярна плоскости XY.

Такая плоскость будет иметь уравнение вида \( x + y = a/2 \). Эта плоскость отсекает от куба треугольную призму. Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами \( a/2 \) и \( a/2 \). Площадь основания \( S = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8} \). Высота призмы равна длине ребра куба, то есть \( h = a \).

Объём треугольной призмы \( V_{\text{призмы}} = S \cdot h = \frac{a^2}{8} \cdot a = \frac{a^3}{8} \).

Так как \( a^3 = 12 \), то объём призмы:

\[ V_{\text{призмы}} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5 \]

Ответ: 1.5