Острый угол В прямоугольного треугольника равен 50°. Найдите угол между высотой СН и медианой СМ, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть \( \angle B = 50^{\circ} \). В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \) \( \angle C = 90^{\circ} \).

1. В \( \triangle ABC \): \( \angle A = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ} \).
2. Так как \( CM \) — медиана, то \( AM = MB \). В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Следовательно, \( CM = AM = MB \).
3. Рассмотрим \( \triangle CMB \). Так как \( CM = MB \), то \( \triangle CMB \) — равнобедренный. \( \angle MCB = \angle MBC = 50^{\circ} \).
4. \( CH \) — высота, значит \( \angle CHB = 90^{\circ} \). В \( \triangle CHB \): \( \angle BCH = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ} \).
5. Угол между высотой \( CH \) и медианой \( CM \) равен \( \angle HCM \). \( \angle HCM = \angle BCH - \angle BCM \).
6. \( \angle HCM = 50^{\circ} - 40^{\circ} = 10^{\circ} \).

Ответ: 10