3. Образующая конуса / наклонена к плоскости основания под углом в 30°. Найти высоту конуса и площадь осевого сечения.

Ответ: Высота конуса \(h = \frac{l\sqrt{3}}{2}\), площадь осевого сечения \(S = \frac{l^2\sqrt{3}}{4}\)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем высоту конуса \(h\)

   Угол между образующей и плоскостью основания равен 30°. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей, имеем:

   \[\sin(30^\circ) = \frac{h}{l}\]

   Так как \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), то:

   \[h = l \cdot \sin(30^\circ) = \frac{l}{2}\]

   Радиус основания \(r\) можно найти, используя косинус угла:

   \[\cos(30^\circ) = \frac{r}{l}\]\[r = l \cdot \cos(30^\circ) = l \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{l\sqrt{3}}{2}\]
2. Шаг 2: Найдем площадь осевого сечения \(S\)

   Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник с основанием, равным диаметру основания конуса, и высотой, равной высоте конуса. Площадь треугольника вычисляется по формуле:

   \[S = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h\]

   где \(d = 2r = 2 \cdot \frac{l\sqrt{3}}{2} = l\sqrt{3}\) и \(h = \frac{l}{2}\).

   \[S = \frac{1}{2} \cdot l\sqrt{3} \cdot \frac{l}{2} = \frac{l^2\sqrt{3}}{4}\]

Ответ: Высота конуса \(h = \frac{l}{2}\), площадь осевого сечения \(S = \frac{l^2\sqrt{3}}{4}\)