ОГЭ-2025. Тренировочная работа № 15. Задача 5. Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха. Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Рассмотрим чертёж передней панели печи. Из рисунка видно, что радиус закругления арки можно найти, используя геометрические соотношения.

Высота арки равна 40 см, а ширина равна 60 см. Так как арка является дугой окружности, то радиус можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный радиусом, половиной ширины и частью высоты.

Пусть R - радиус закругления арки. Тогда:

$$R^2 = (R-40)^2 + (60/2)^2$$

$$R^2 = (R-40)^2 + 30^2$$

$$R^2 = R^2 - 80R + 1600 + 900$$

$$80R = 2500$$

$$R = \frac{2500}{80} = \frac{250}{8} = 31.25$$

Таким образом, радиус закругления арки равен 31.25 см.