Около правильного многоугольника описана окружность, радиус которой 12 см. Сторона многоугольника удалена от его центра на 6 см. Число сторон этого многоугольника равно

Ответ: 12

Разбираемся:

• Пусть R — радиус окружности, a — сторона многоугольника, d — расстояние от центра до стороны.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, половиной стороны многоугольника и расстоянием от центра до стороны.
• По теореме Пифагора: \[(\frac{a}{2})^2 + d^2 = R^2\]
• Подставляем известные значения: \[(\frac{a}{2})^2 + 6^2 = 12^2\]
• Решаем уравнение: \[(\frac{a}{2})^2 = 144 - 36 = 108\]\[\frac{a}{2} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}\]\[a = 12\sqrt{3}\]
• Центральный угол, опирающийся на сторону многоугольника: \[\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{a/2}{R} = \frac{6\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]\[\frac{\alpha}{2} = 60^\circ\]\[\alpha = 120^\circ\]
• Число сторон многоугольника: \[n = \frac{360^\circ}{\alpha} = \frac{360^\circ}{30^\circ} = 3\]

Ответ: 3