18. Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АР = 34, а сторона ВС в 2 раза меньше стороны АВ.

Поскольку окружность проходит через точки B, C, K, P, четырехугольник BCPK является вписанным в окружность. Следовательно, \(\angle AKP = \angle ACB\) как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Значит, треугольники AKP и ACB подобны по двум углам (\(\angle A\) - общий, \(\angle AKP = \angle ACB\)). Из подобия треугольников следует: $$\frac{KP}{BC} = \frac{AP}{AC} = \frac{AK}{AB}$$ По условию, AP = 34, и BC в 2 раза меньше AB, то есть AB = 2BC. Обозначим BC = x, тогда AB = 2x. Также AC = AP + PC. Из подобия треугольников AKP и ACB имеем: $$\frac{KP}{BC} = \frac{AP}{AB}$$ Выразим KP: $$KP = BC \cdot \frac{AP}{AB} = x \cdot \frac{34}{2x} = \frac{34x}{2x} = 17$$ Ответ: 17