Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB и BC в точках K и E соответственно. Отрезки AE и CK перпендикулярны. Найдите \(\angle KCB\), если \(\angle ABC = 20^\circ\).

Так как окружность проходит через точки A, C, K и E, четырехугольник AKCE является вписанным в окружность. В вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°. Следовательно, \(\angle AKC + \angle AEC = 180^\circ\). Дано, что отрезки AE и CK перпендикулярны, значит, угол между ними равен 90°. Пусть точка пересечения AE и CK - точка O. Тогда \(\angle AOC = 90^\circ\). Рассмотрим четырехугольник BKOE. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Тогда \(\angle BKO + \angle BEO = 360^\circ - \angle ABC - \angle KOE\). \(\angle KOE = \angle AOC = 90^\circ\) (как вертикальные углы). Следовательно, \(\angle BKO + \angle BEO = 360^\circ - 20^\circ - 90^\circ = 250^\circ\). Так как AKCE - вписанный, \(\angle AKC + \angle AEC = 180^\circ\). Значит, \(\angle BKA + \angle CEA = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ\). Известно, что \(\angle ABC = 20^\circ\). В треугольнике BKO: \(\angle BKO = 180 - \angle KBO - \angle KOB\). Аналогично, в треугольнике BEO: \(\angle BEO = 180 - \angle EBO - \angle EOB\). Пусть \(\angle KCB = x\). Тогда \(\angle KAE = x\) (углы, опирающиеся на одну дугу). Рассмотрим треугольник AOC. \(\angle OAC + \angle OCA = 90^\circ\). \(\angle KAE + \angle KCA = 90^\circ\), значит, \(x + \angle KCA = 90^\circ\). В треугольнике ABC: \(\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ\). \(\angle BAC + \angle BCA = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ\). \((\angle BAK + x) + (\angle BCE + \angle KCA) = 160^\circ\). \(x + \angle BCE + (90 - x) = 160 - \angle BAK\). \(\angle KCB = 70^\circ\). Ответ: \(70^\circ\)