11. Окружность с радиусом 3, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD, касается её боковой стороны AB в точке E. Найдите площадь трапеции, если известно, что BE = 2, а BC - меньшее основание трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $$ABCD$$, в которую вписана окружность радиуса $$r = 3$$. Окружность касается боковой стороны $$AB$$ в точке $$E$$, при этом $$BE = 2$$. Также известно, что $$BC$$ – меньшее основание трапеции. Поскольку в трапецию вписана окружность, то сумма её оснований равна сумме боковых сторон. Так как трапеция равнобедренная, то $$AB = CD$$. Следовательно, $$BC + AD = AB + CD = 2AB$$. Пусть $$O$$ - центр окружности, вписанной в трапецию. Опустим высоту $$BH$$ на основание $$AD$$. Тогда $$AH = \frac{AD - BC}{2}$$. Также известно, что $$AB = AE + EB$$. При этом $$AE = \sqrt{AO^2 - OE^2}$$. Опустим высоту $$OO_1$$ на сторону $$AB$$. Тогда $$OO_1 = r = 3$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOO_1$$. Пусть $$AE = x$$, тогда $$AO = \sqrt{x^2 + 9}$$. Также известно, что $$BE = 2$$. Тогда $$AB = x + 2$$, и $$AD + BC = 2(x + 2)$$. Из свойства касательных, проведенных из одной точки к окружности, следует, что $$AE = AK$$, где $$K$$ - точка касания окружности с основанием $$AD$$, а $$BE = BM$$, где $$M$$ - точка касания окружности со стороной $$BC$$. Тогда $$AE = x, BE = 2$$. Следовательно, $$AB = AE + BE = x + 2$$. Т.к. в трапецию вписана окружность, то $$AB + CD = BC + AD$$. Так как трапеция равнобедренная, то $$AB = CD$$, следовательно, $$2AB = BC + AD$$. Пусть $$BC = a, AD = b$$. Тогда $$2(x + 2) = a + b$$. Также $$AE = x$$, а $$BE = 2$$. Площадь трапеции $$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h = \frac{a+b}{2}h = (x + 2) \cdot 2r = (x+2) \cdot 6$$. Нужно найти значение $$x$$. Заметим, что $$AB = x+2$$, и в равнобедренной трапеции высота, проведенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой - полусумме оснований. Таким образом, высота равна $$2r = 6$$, $$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{b-a}{2}$$. Тогда $$(x+2)^2 = 6^2 + (\frac{b-a}{2})^2$$. $$x = 4.5$$, и $$S = (4.5+2)*6 = 6.5*6 = 39$$ **Ответ: 39**