23. Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите диаметр окружности, если АВ=2, AC=8.

Пусть O - центр окружности, R - радиус окружности. Так как окружность касается прямой AB в точке B, то OB перпендикулярна AB (OB$$\perp$$AB).

Треугольник ABO прямоугольный, где AO = AC - OC = 8 - R.

По теореме Пифагора $$AO^2 = AB^2 + BO^2$$.

Подставим известные значения: $$ (8 - R)^2 = 2^2 + R^2 $$.

$$ 64 - 16R + R^2 = 4 + R^2 $$.

$$ 64 - 4 = 16R $$.

$$ 60 = 16R $$.

$$ R = \frac{60}{16} = \frac{15}{4} $$.

Диаметр окружности $$D = 2R = 2 \cdot \frac{15}{4} = \frac{15}{2} = 7.5 $$.

Ответ: 7,5