4. Окружность с центром O и радиусом 16 см описана около треугольника ABC так, что \(\angle OAB = 30^\circ\), \(\angle OCB = 45^\circ\). Найдите стороны AB и BC треугольника.

Рассмотрим треугольник AOB. OA = OB = 16 см (радиусы), значит, треугольник AOB равнобедренный. Следовательно, \(\angle OBA = \angle OAB = 30^\circ\). Тогда \(\angle AOB = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Применим теорему косинусов для треугольника AOB: $$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot cos(\angle AOB)$$ $$AB^2 = 16^2 + 16^2 - 2 \cdot 16 \cdot 16 \cdot cos(120^\circ)$$ $$AB^2 = 256 + 256 - 512 \cdot (-\frac{1}{2})$$ $$AB^2 = 512 + 256 = 768$$ $$AB = \sqrt{768} = 16\sqrt{3}$$ см Рассмотрим треугольник BOC. OB = OC = 16 см (радиусы), значит, треугольник BOC равнобедренный. Следовательно, \(\angle OBC = \angle OCB = 45^\circ\). Тогда \(\angle BOC = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\). Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника BOC: $$BC^2 = OB^2 + OC^2$$ $$BC^2 = 16^2 + 16^2$$ $$BC^2 = 256 + 256 = 512$$ $$BC = \sqrt{512} = 16\sqrt{2}$$ см Ответ: AB = $$16\sqrt{3}$$ см, BC = $$16\sqrt{2}$$ см