2. Рис. 860. Дано: \(\cup AB : \cup BC = 11 : 12\). Найти: \(\angle BCA, \angle BAC\).

Пусть \(\cup AB = 11x\) и \(\cup BC = 12x\). Вся окружность составляет 360 градусов. Значит:

\(11x + 12x + \cup CA = 360^\circ\)

Найдем \(\angle AOC\). Из рисунка видно, что \(\angle AOC = 130^\circ\). Тогда \(\cup AC = 130^\circ\).

\(11x + 12x + 130 = 360\)

\(23x = 360 - 130\)

\(23x = 230\)

\(x = 10\)

Тогда \(\cup AB = 11 \cdot 10 = 110^\circ\) и \(\cup BC = 12 \cdot 10 = 120^\circ\).

Угол \(\angle BCA\) является вписанным и опирается на дугу AB, значит, он равен половине этой дуги:

\(\angle BCA = \frac{1}{2} \cup AB = \frac{1}{2} \cdot 110^\circ = 55^\circ\)

Угол \(\angle BAC\) является вписанным и опирается на дугу BC, значит, он равен половине этой дуги:

\(\angle BAC = \frac{1}{2} \cup BC = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ\)

Ответ: \(\angle BCA = 55^\circ\), \(\angle BAC = 60^\circ\)