4. Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника АВС, в котором AB = BC и ∠BАС = 45°. Найдите величину угла ВОС.

Дано: Окружность с центром O, треугольник ABC, описанный около окружности, AB = BC, ∠BAC = 45°.

Найти: ∠BOC.

Решение:

1. Так как треугольник ABC равнобедренный (AB = BC), то ∠BAC = ∠BCA = 45°.
2. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠BCA = 180° - 45° - 45° = 90°.
3. Угол ∠BOC - центральный угол, опирающийся на дугу BC. Угол ∠BAC - вписанный угол, опирающийся на ту же дугу. Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Так как ∠BAC опирается на дугу BC, но мы знаем градусную меру угла ∠ABC, который тоже опирается на дугу AC. Следовательно, угол ∠BOC опирается на дугу BAC (вся окружность, кроме дуги AC)
4. Найдем градусную меру дуги AC, на которую опирается угол ∠ABC:
$$ дуга AC = 2 * ∠ABC = 2 * 90° = 180°$$
5. Тогда градусная мера дуги BAC равна 360° - 180° = 180°. Следовательно, центральный угол ∠BOC, опирающийся на эту дугу, тоже равен 180°.

Ответ: ∠BOC = 180°