560. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC, касается его боковых сторон AB и BC в точках M и N соответственно. Докажите, что MN || AC.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Окружность вписана в треугольник и касается сторон AB и BC в точках M и N соответственно. Требуется доказать, что MN || AC. 1. Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA. 2. Пусть O - центр вписанной окружности. Тогда OM ⊥ AB и ON ⊥ BC, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. 3. Рассмотрим треугольники BOM и BON. Они прямоугольные, BO - общая сторона, OM = ON (радиусы одной окружности). Следовательно, треугольники BOM и BON равны по гипотенузе и катету. Значит, ∠OBM = ∠OBN. 4. Так как ∠OBM = ∠OBN, BO является биссектрисой угла ∠ABC. Пусть ∠ABC = 2α, тогда ∠ABO = ∠CBO = α. 5. Рассмотрим треугольник BMN. Так как BM = BN (как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности), треугольник BMN - равнобедренный. Следовательно, ∠BMN = ∠BNM. Угол ∠MBN = 2α, поэтому ∠BMN = (180° - 2α) / 2 = 90° - α. 6. Теперь рассмотрим углы ∠BAC и ∠BMN. Мы имеем ∠BAC = (180° - 2α) / 2 = 90° - α. Следовательно, ∠BAC = ∠BMN. 7. Углы ∠BAC и ∠BMN - соответственные углы при прямых MN и AC и секущей AB. Так как эти углы равны, то MN || AC. Что и требовалось доказать.