62. В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке M, BC = a. Докажите, что AM = p - a, где p - полупериметр треугольника ABC.

Пусть в треугольник ABC вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке M. Пусть BC = a, AC = b, AB = c. Нужно доказать, что AM = p - a, где p - полупериметр треугольника ABC. 1. Пусть окружность касается сторон AB, BC и AC в точках M, N и K соответственно. 2. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, имеем: AM = AK BM = BN CN = CK 3. Обозначим AM = x, BM = y, CN = z. Тогда AK = x, BN = y, CK = z. 4. Имеем: AB = AM + BM = x + y = c BC = BN + CN = y + z = a AC = AK + CK = x + z = b 5. Полупериметр треугольника ABC равен: p = (a + b + c) / 2 6. Выразим полупериметр через x, y, z: p = ((y + z) + (x + z) + (x + y)) / 2 = (2x + 2y + 2z) / 2 = x + y + z 7. Нам нужно доказать, что AM = x = p - a. Подставим известные значения: x = p - a = (x + y + z) - (y + z) = x 8. Таким образом, AM = p - a. Что и требовалось доказать.