707. Олжас и Дима нарубят дрова на зиму за 10 дней, Дима и Антон – за 15 дней, а Олжас и Антон – за 18 дней. За сколько дней нарубят дрова Олжас, Дима и Антон, работая по отдельности?

Пусть Олжас нарубит дрова за х дней, Дима - за y дней, Антон - z дней.

Тогда за 1 день:

• Олжас нарубит $$\frac{1}{x}$$ часть дров.
• Дима нарубит $$\frac{1}{y}$$ часть дров.
• Антон нарубит $$\frac{1}{z}$$ часть дров.

По условию задачи:

• Олжас и Дима нарубят дрова за 10 дней, то есть за 1 день они нарубят $$\frac{1}{10}$$ часть дров.
• Дима и Антон нарубят дрова за 15 дней, то есть за 1 день они нарубят $$\frac{1}{15}$$ часть дров.
• Олжас и Антон нарубят дрова за 18 дней, то есть за 1 день они нарубят $$\frac{1}{18}$$ часть дров.

Получаем систему уравнений:

$$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{10}\\ \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{15}\\ \frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{18} \end{cases}$$

Выразим из первого уравнения $$\frac{1}{y}$$:

$$\frac{1}{y} = \frac{1}{10} - \frac{1}{x}$$

Выразим из третьего уравнения $$\frac{1}{z}$$:

$$\frac{1}{z} = \frac{1}{18} - \frac{1}{x}$$

Подставим полученные выражения во второе уравнение:

$$\frac{1}{10} - \frac{1}{x} + \frac{1}{18} - \frac{1}{x} = \frac{1}{15}$$ $$\frac{1}{10} + \frac{1}{18} - \frac{1}{15} = \frac{2}{x}$$ $$\frac{9 + 5 - 6}{90} = \frac{2}{x}$$ $$\frac{8}{90} = \frac{2}{x}$$ $$\frac{4}{45} = \frac{2}{x}$$ $$x = \frac{2 \cdot 45}{4} = \frac{45}{2} = 22.5$$

То есть, Олжас нарубит дрова за 22,5 дня.

Теперь найдем y:

$$\frac{1}{y} = \frac{1}{10} - \frac{1}{x} = \frac{1}{10} - \frac{1}{22.5} = \frac{1}{10} - \frac{2}{45} = \frac{9 - 4}{90} = \frac{5}{90} = \frac{1}{18}$$

То есть, Дима нарубит дрова за 18 дней.

Теперь найдем z:

$$\frac{1}{z} = \frac{1}{18} - \frac{1}{x} = \frac{1}{18} - \frac{1}{22.5} = \frac{1}{18} - \frac{2}{45} = \frac{5 - 4}{90} = \frac{1}{90}$$

То есть, Антон нарубит дрова за 90 дней.

Ответ: Олжас нарубит дрова за 22,5 дня, Дима - за 18 дней, Антон - за 90 дней.