706. Первая и вторая бригады построят коттедж за 12 месяцев, вторая и третья бригады – за 10 месяцев, первая и третья бригады – за 15 месяцев. За сколько месяцев построят коттедж три бригады, работая совместно?

Пусть первая бригада построит коттедж за x месяцев, вторая - за y месяцев, третья - за z месяцев. Тогда, согласно условию, имеем:

1. Первая и вторая бригады вместе: $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} $$
2. Вторая и третья бригады вместе: $$ \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{10} $$
3. Первая и третья бригады вместе: $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{15} $$

Сложим эти три уравнения:

$$ 2(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) = \frac{1}{12} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} $$

Найдем общий знаменатель для правой части уравнений: НОК(12, 10, 15) = 60. Приведем дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{1}{12} = \frac{5}{60}, \quad \frac{1}{10} = \frac{6}{60}, \quad \frac{1}{15} = \frac{4}{60} $$

Теперь сложим дроби:

$$ \frac{5}{60} + \frac{6}{60} + \frac{4}{60} = \frac{5+6+4}{60} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4} $$

Итак, получаем уравнение:

$$ 2(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) = \frac{1}{4} $$

Разделим обе части на 2:

$$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{8} $$

Это означает, что три бригады вместе построят коттедж за 8 месяцев.

Ответ: 8 месяцев