Определить число решений системы уравнений: 1) 3x - 2y = 5, 4y + 10 = 6x; 2) 5x + 2y = 1, 3x = y + 2; 3) -3x + 4y - 1 = 0, x - 3y = 2; 4) 1/3 x = y - 2, x + 4 - 3y = 0; 5) x - 1/2 y = 4, 2x - 9 = y; 6) 2x - 3y - 1 = 0, 6x = 3 + 9y.

Определение числа решений систем уравнений:

Для определения числа решений системы линейных уравнений, приведем уравнения к виду y = kx + b и сравним коэффициенты k и b.

1) { 3x - 2y = 5, 4y + 10 = 6x }

• 1-е уравнение: -2y = -3x + 5 => y = 3/2 x - 5/2
• 2-е уравнение: 4y = 6x - 10 => y = 6/4 x - 10/4 => y = 3/2 x - 5/2

Сравнение: k1 = k2 (3/2), b1 = b2 (-5/2). Коэффициенты наклона и свободные члены совпадают.

Вывод: Система имеет бесконечно много решений (линии совпадают).

2) { 5x + 2y = 1, 3x = y + 2 }

• 1-е уравнение: 2y = -5x + 1 => y = -5/2 x + 1/2
• 2-е уравнение: y = 3x - 2

Сравнение: k1 = -5/2, k2 = 3. Коэффициенты наклона не равны.

Вывод: Система имеет одно решение (линии пересекаются).

3) { -3x + 4y - 1 = 0, x - 3y = 2 }

• 1-е уравнение: 4y = 3x + 1 => y = 3/4 x + 1/4
• 2-е уравнение: -3y = -x + 2 => y = 1/3 x - 2/3

Сравнение: k1 = 3/4, k2 = 1/3. Коэффициенты наклона не равны.

Вывод: Система имеет одно решение (линии пересекаются).

4) { 1/3 x = y - 2, x + 4 - 3y = 0 }

• 1-е уравнение: y = 1/3 x + 2
• 2-е уравнение: -3y = -x - 4 => y = 1/3 x + 4/3

Сравнение: k1 = 1/3, k2 = 1/3. Коэффициенты наклона равны. b1 = 2, b2 = 4/3. Свободные члены не равны.

Вывод: Система имеет нет решений (линии параллельны).

5) { x - 1/2 y = 4, 2x - 9 = y }

• 1-е уравнение: -1/2 y = -x + 4 => y = 2x - 8
• 2-е уравнение: y = 2x - 9

Сравнение: k1 = 2, k2 = 2. Коэффициенты наклона равны. b1 = -8, b2 = -9. Свободные члены не равны.

Вывод: Система имеет нет решений (линии параллельны).

6) { 2x - 3y - 1 = 0, 6x = 3 + 9y }

• 1-е уравнение: -3y = -2x + 1 => y = 2/3 x - 1/3
• 2-е уравнение: 9y = 6x - 3 => y = 6/9 x - 3/9 => y = 2/3 x - 1/3

Сравнение: k1 = k2 (2/3), b1 = b2 (-1/3). Коэффициенты наклона и свободные члены совпадают.

Вывод: Система имеет бесконечно много решений (линии совпадают).