9. Определите количество целых решений неравенства \frac{3x^2+10x+3}{(3-x)^2(4-x^2)} > 0.

Решим неравенство: \frac{3x^2+10x+3}{(3-x)^2(4-x^2)} > 0 Сначала разложим квадратный трехчлен в числителе и разность квадратов в знаменателе: 3x^2 + 10x + 3 = 0 D = 10^2 - 4*3*3 = 100 - 36 = 64 x_1 = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} x_2 = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3 3x^2 + 10x + 3 = 3(x + 3)(x + \frac{1}{3}) = (x + 3)(3x + 1) 4 - x^2 = (2 - x)(2 + x) Теперь перепишем неравенство: \frac{(x + 3)(3x + 1)}{(3-x)^2(2-x)(2+x)} > 0 Найдем нули числителя и знаменателя: Числитель: x = -3, x = -\frac{1}{3} Знаменатель: x = 3, x = 2, x = -2 Расставим эти точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале: ``` -3 -1/3 -2 2 3 <-------|-------|-------|-------|-------|------> - + - - + + ``` Неравенство выполняется на интервалах: (-3, -2) U (-1/3, 2) U (2,3) U (3, +inf) Теперь найдем целые решения: (-3, -2): нет целых решений (-1/3, 2): 0, 1 (2,3): нет целых решений (3, +inf): нет целых решений, т.к. x != 3 Таким образом, целые решения: 0, 1 Количество целых решений: 2 Ответ: 2