Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две точки пересечения.

Решение:

График функции состоит из двух частей:

1. Часть параболы \( y = -x^2 + 8x - 17 \) при \( x \geq 2 \). Вершина параболы находится в точке \( (4; -1) \). Минимальное значение \( y \) на этом участке достигается при \( x = 2 \), \( y(2) = -5 \). Максимальное значение — \( y = -1 \) (в вершине).

   Таким образом, значения \( y \) на этом участке изменяются в диапазоне \( [-5; -1] \).

2. Часть прямой \( y = -x - 2 \) при \( x < 2 \). При \( x \to 2 \) (слева), \( y \to -4 \). При \( x \to -\infty \), \( y \to +\infty \).

Теперь рассмотрим, сколько точек пересечения имеет горизонтальная прямая \( y = m \) с графиком функции.

• Если \( m > -4 \) (и \( m \neq -1 \)), прямая \( y = m \) пересекает правую часть графика (прямую) один раз. Если \( m \) находится в диапазоне \( (-5; -1) \), она пересекает и левую часть (параболу) один раз.
• Если \( m = -4 \), прямая \( y = m \) пересекает левую часть (параболу) один раз (в точке \( x \approx 5.7 \)) и проходит через выколотую точку \( (2; -4) \) правой части, то есть не пересекает её.
• Если \( m = -5 \), прямая \( y = m \) пересекает левую часть (параболу) в одной точке \( (2; -5) \) и правую часть (прямую) один раз \( (x = -3) \).
• Если \( m = -1 \), прямая \( y = m \) пересекает левую часть (параболу) в одной точке (вершине \( (4; -1) \)) и правую часть (прямую) один раз \( (x = -3) \).

Чтобы прямая \( y = m \) имела ровно две точки пересечения, необходимо, чтобы она пересекала обе части графика.

Рассмотрим интервалы значений \( y \) для каждой части:

• Для параболы: \( y \in [-5; -1] \).
• Для прямой: \( y \in (-4; +\infty) \).

Общие значения \( y \) для обеих частей (где возможно пересечение с обеими частями): \( y \in (-4; -1] \).

Если \( y = m \) находится в этом интервале, то прямая пересечет и параболу, и прямую.

• Когда \( m = -1 \), прямая \( y = -1 \) пересекает параболу в вершине (1 точка) и прямую в точке \( x = -3 \) (1 точка). Всего 2 точки.
• Когда \( m \in (-4; -1) \), прямая \( y = m \) пересекает параболу в двух точках (так как \( m \) находится между \( -5 \) и \( -1 \), и \( m \neq -5 \)), и прямую в одной точке \( x = m + 2 \). Всего 3 точки.

Давайте пересмотрим точки пересечения. График состоит из:

• Части параболы, где \( y \) изменяется от -5 (включительно) до -1 (включительно).
• Луча прямой, где \( y \) изменяется от -4 (не включая) до \( +\infty \).

Прямая \( y = m \) будет иметь ровно две точки пересечения, если:

1. \( m \) находится между значением \( y \) в точке \( x = 2 \) для параболы (то есть -5) и значением \( y \) в вершине параболы (то есть -1), и при этом \( m \) не является значением \( y \) на прямой в точке \( x=2 \) (то есть -4).
2. \( m \) находится между значением \( y \) в точке \( x = 2 \) для параболы (то есть -5) и значением \( y \) в вершине параболы (то есть -1).

Если \( m \) находится в интервале \( (-5; -4) \), то прямая пересекает параболу в двух точках и луч прямой в одной точке. Всего 3 точки.

Если \( m = -5 \), то прямая пересекает параболу в одной точке (крайней) и луч прямой в одной точке. Всего 2 точки.

Если \( m \in (-4; -1) \), то прямая пересекает параболу в двух точках и луч прямой в одной точке. Всего 3 точки.

Если \( m = -1 \), то прямая пересекает параболу в одной точке (вершине) и луч прямой в одной точке. Всего 2 точки.

Если \( m \in (-5; -1) \), то прямая пересекает параболу в двух точках. Нас интересует, когда прямая пересечет также и луч прямой.

Луч прямой имеет значения \( y > -4 \). Парабола имеет значения \( y \in [-5; -1] \).

Прямая \( y = m \) будет иметь ровно две точки пересечения, когда она пересекает параболу в одной точке (на границе или в вершине) и луч прямой в одной точке.

Рассмотрим значения \( m \), для которых \( y = m \) имеет ровно две точки пересечения:

• \( m = -5 \): пересекает параболу в точке \( (2; -5) \) и луч прямой в точке \( x = -3 \). Всего 2 точки.
• \( m = -1 \): пересекает параболу в вершине \( (4; -1) \) и луч прямой в точке \( x = -3 \). Всего 2 точки.

Также, если \( m \) находится в интервале \( (-5; -4) \), то прямая пересекает параболу в двух точках и луч прямой в одной точке. Всего 3 точки.

Если \( m \) находится в интервале \( (-4; -1) \), то прямая пересекает параболу в двух точках и луч прямой в одной точке. Всего 3 точки.

Нам нужно ровно две точки пересечения. Это происходит, когда \( m = -5 \) или \( m = -1 \).

Уточним: парабола имеет значения \( y \in [-5, -1] \). Луч прямой имеет значения \( y \in (-4, \infty) \).

Пересечение этих интервалов: \( y \in (-4, -1] \). В этом интервале, каждая прямая \( y = m \) пересекает луч прямой один раз. Она пересекает параболу:

• дважды, если \( m \in (-5, -1) \) и \( m \neq -4 \).
• один раз, если \( m = -1 \) (вершина) или \( m = -5 \) (точка \( x = 2 \)).

Таким образом, чтобы было ровно 2 точки пересечения, прямая \( y = m \) должна пересекать одну часть графика в одной точке, а другую — в одной точке.

• Если \( m = -5 \), то \( y = -5 \) пересекает параболу в \( (2, -5) \) (1 точка) и луч прямой \( y = -x - 2 \) в \( -5 = -x - 2 \) \( \Rightarrow x = 3 \) (1 точка). Всего 2 точки.
• Если \( m = -1 \), то \( y = -1 \) пересекает параболу в вершине \( (4, -1) \) (1 точка) и луч прямой \( y = -x - 2 \) в \( -1 = -x - 2 \) \( \Rightarrow x = -1 \) (1 точка). Всего 2 точки.

Если \( m \) находится между -5 и -1, и \( m \neq -4 \), то прямая пересекает параболу в двух точках и луч прямой в одной точке. Всего 3 точки.

Следовательно, \( m \) должно быть равно -5 или -1.

Ответ: \( m = -5 \) или \( m = -1 \).