Постройте график функции $$y=\begin{cases} -x^2 + 8x - 17 & при \ x \geq 2 \\ -x - 2 & при \ x < 2 \end{cases}$$

Построение графика функции

Функция задана кусочно. Рассмотрим каждую часть отдельно.

1. \( y = -x^2 + 8x - 17 \) при \( x \geq 2 \)

Это парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный).

Найдем вершину параболы. Координата \( x_0 \) вершины находится по формуле \( x_0 = -\frac{b}{2a} \):

\[ x_0 = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = -\frac{8}{-2} = 4 \]

Найдем значение \( y \) в вершине:

\[ y_0 = -(4)^2 + 8 \cdot 4 - 17 = -16 + 32 - 17 = -1 \]

Вершина параболы находится в точке \( (4; -1) \).

Теперь найдем значение функции в точке \( x = 2 \), которая является границей области определения для этой части:

\[ y(2) = -(2)^2 + 8 \cdot 2 - 17 = -4 + 16 - 17 = -5 \]

Значит, первая часть графика — это часть параболы с вершиной в \( (4; -1) \), проходящая через точку \( (2; -5) \) (включая эту точку).

2. \( y = -x - 2 \) при \( x < 2 \)

Это линейная функция, график которой — прямая. Коэффициент наклона равен -1, а \( y \)-перехват равен -2.

Найдем значение функции в точке \( x = 2 \) (которая не включается в область определения этой части, поэтому будет изображена выколотой точкой):

\[ y(2) = -(2) - 2 = -4 \]

Итак, эта часть графика — луч, начинающийся из точки \( (2; -4) \) (не включая ее) и идущий влево.

Построим график:

Ответ: График построен.