3. Определите промежутки выпуклости вверх(вниз) и точки перегиба данной функции: $$f(x)=x^4+4x^3-18x^2+x-17$$

Для определения промежутков выпуклости и точек перегиба, нужно найти вторую производную функции и исследовать ее знак. 1. Находим первую производную: $$f'(x) = 4x^3 + 12x^2 - 36x + 1$$ 2. Находим вторую производную: $$f''(x) = 12x^2 + 24x - 36$$ 3. Находим точки, где вторая производная равна нулю (возможные точки перегиба): $$12x^2 + 24x - 36 = 0$$ Разделим на 12: $$x^2 + 2x - 3 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: $$(x+3)(x-1) = 0$$ Получаем $$x_1 = -3$$ и $$x_2 = 1$$ 4. Определяем знаки второй производной на интервалах: - Интервал $$(-\infty; -3)$$: Возьмем $$x = -4$$. $$f''(-4) = 12(-4)^2 + 24(-4) - 36 = 192 - 96 - 36 = 60 > 0$$. Функция выпукла вниз. - Интервал $$(-3; 1)$$: Возьмем $$x = 0$$. $$f''(0) = 12(0)^2 + 24(0) - 36 = -36 < 0$$. Функция выпукла вверх. - Интервал $$(1; +\infty)$$: Возьмем $$x = 2$$. $$f''(2) = 12(2)^2 + 24(2) - 36 = 48 + 48 - 36 = 60 > 0$$. Функция выпукла вниз. 5. Записываем результаты: - Функция выпукла вниз на интервалах $$(-\infty; -3)$$ и $$(1; +\infty)$$. - Функция выпукла вверх на интервале $$(-3; 1)$$. - Точки перегиба: $$x = -3$$ и $$x = 1$$. Ответ: - Выпукла вниз: $$(-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$$ - Выпукла вверх: $$(-3; 1)$$ - Точки перегиба: $$x = -3$$, $$x = 1$$