4. Основание прямой призмы — ромб со стороной 8 см и острым углом 60°. Высота призмы равна 12 см. Вычислите: а) длины диагоналей призмы; б) площади диагональных сечений.

а) Длины диагоналей призмы:

Сторона ромба: \(a = 8\) см

Острый угол ромба: \(\alpha = 60^\circ\)

Высота призмы: \(h = 12\) см

Сначала найдем диагонали ромба. Меньшая диагональ ромба равна его стороне, так как угол 60°:

\[d_1 = a = 8 \text{ см}\]

Для нахождения большей диагонали используем теорему косинусов:

\[d_2^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(120^\circ)\] \[d_2^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8^2 \cdot (-\frac{1}{2})\] \[d_2^2 = 64 + 64 + 64 = 192\] \[d_2 = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} \text{ см}\]

Теперь найдем диагонали призмы. Они являются гипотенузами прямоугольных треугольников, где катеты - высота призмы и диагонали ромба:

\[D_1 = \sqrt{d_1^2 + h^2} = \sqrt{8^2 + 12^2} = \sqrt{64 + 144} = \sqrt{208} = 4\sqrt{13} \text{ см}\] \[D_2 = \sqrt{d_2^2 + h^2} = \sqrt{(8\sqrt{3})^2 + 12^2} = \sqrt{192 + 144} = \sqrt{336} = 4\sqrt{21} \text{ см}\]

б) Площади диагональных сечений:

Диагональные сечения призмы - прямоугольники, стороны которых - высота призмы и диагонали ромба.

\[S_1 = d_1 \cdot h = 8 \cdot 12 = 96 \text{ см}^2\] \[S_2 = d_2 \cdot h = 8\sqrt{3} \cdot 12 = 96\sqrt{3} \text{ см}^2\]

Ответ: а) \(4\sqrt{13}\) см и \(4\sqrt{21}\) см; б) 96 см² и \(96\sqrt{3}\) см²