222 Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых ребрах призмы.

Решение:

1) Рассмотрим прямую призму, основанием которой является равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD = 25 см и BC = 9 см, высотой BH = 8 см.

Нужно найти двугранные углы при боковых ребрах призмы.

2) Двугранный угол при боковом ребре призмы - это угол между боковой гранью и основанием призмы.

В прямой призме боковые ребра перпендикулярны основаниям, поэтому двугранный угол при боковом ребре прямой призмы равен 90°.

3) Проведем высоту CK к основанию AD. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и DCK, они равны по катету и гипотенузе (BH = CK как высоты трапеции, AB = CD как боковые стороны равнобедренной трапеции). Следовательно, AH = KD.

4) Найдем AH и KD.

$$AH = KD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{25 - 9}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ см}$$

5) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Так как ABH - равнобедренный, AH = BH = 8, то углы при основании 45°, т.е ∠BAH = ∠ADH = 45°.

$$tg(\angle BAH) = \frac{BH}{AH} = 1$$ $$\angle BAH = arctg(1) = 45°$$

6) Углы при боковых рёбрах равны 90°.

Найдем угол между плоскостями боковых граней, проходящих через боковые стороны трапеции.

Пусть BB₁ - боковое ребро призмы, и плоскости ABB₁ и CDD₁ пересекаются под углом β.

Проведем BB₂ ⊥ AD и BB₃ ⊥ AD.

Тогда угол между плоскостями ABB₁ и CDD₁ равен углу между прямыми BB₂ и BB₃, то есть ∠B₂BB₃ = β = 180° - ∠ABC = 180° - 45° = 135°.

Ответ: Двугранные углы при боковых ребрах призмы составляют 90°.