221 Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

Решение:

1) Рассмотрим правильную треугольную призму ABC A₁B₁C₁ с основанием - равносторонним треугольником ABC и A₁B₁C₁ со стороной AB = BC = CA = 8 см и боковым ребром AA₁ = BB₁ = CC₁ = 6 см.

Нужно найти площадь сечения, проходящего через, например, сторону верхнего основания A₁B₁ и противолежащую вершину нижнего основания C.

Таким образом, сечение - треугольник A₁B₁C.

2) Треугольник A₁B₁C - равнобедренный, так как A₁C = B₁C. Найдем стороны A₁C и B₁C, они являются гипотенузами в прямоугольных треугольниках ACC₁ и BCC₁.

$$A_1C = B_1C = \sqrt{AC^2 + AA_1^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$

3) Найдем площадь треугольника A₁B₁C. Проведем высоту CM к стороне A₁B₁.

Так как треугольник A₁B₁C - равнобедренный, то высота CM является медианой, и AM = MB = A₁B₁ / 2 = 4 см.

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник AMC. По теореме Пифагора найдем высоту CM:

$$CM = \sqrt{A_1C^2 - AM^2} = \sqrt{10^2 - 4^2} = \sqrt{100 - 16} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21} \approx 9.17 \text{ см}$$

5) Найдем площадь треугольника A₁B₁C:

$$S = \frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2\sqrt{21} = 8\sqrt{21} \approx 36.66 \text{ см}^2$$

Ответ: Площадь сечения приближенно равна 36.66 см².