6. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 9 и 12. Площадь ее поверхности равна 504. Найдите высоту призмы.

Площадь поверхности призмы состоит из площади двух оснований и площади боковой поверхности: $$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$$. 1. Найдем площадь основания (прямоугольного треугольника): \[S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 9 \cdot 6 = 54\] 2. Зная площадь полной поверхности и площадь основания, найдем площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = S_{полн} - 2S_{осн} = 504 - 2 \cdot 54 = 504 - 108 = 396\] 3. Найдем гипотенузу основания (по теореме Пифагора): \[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\] 4. Найдем периметр основания: \[P_{осн} = a + b + c = 9 + 12 + 15 = 36\] 5. Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы: $$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$$. Отсюда найдем высоту: \[h = \frac{S_{бок}}{P_{осн}} = \frac{396}{36} = 11\] Ответ: 11