4. Основания равнобедренной трапеции равны 2 дм и 12 дм, а один из углов угол равен. 135°. Найдите площадь трапеции.

4. Основания равнобедренной трапеции равны 2 дм и 12 дм, а один из углов равен 135°. Требуется найти площадь трапеции.

Обозначим основания трапеции $$a = 2 \text{ дм}$$ и $$b = 12 \text{ дм}$$. Угол при большем основании равен 135°. Так как трапеция равнобедренная, углы при каждом основании равны.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$$

где $$h$$ — высота трапеции.

Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник, где один из углов равен $$180° - 135° = 45°$$. Тогда второй угол также равен 45°, и треугольник является равнобедренным. Длина катета, прилежащего к углу 45°, равна высоте $$h$$.

Разница между основаниями равна $$12 - 2 = 10 \text{ дм}$$. Так как высота делит большее основание на два отрезка, один из которых равен меньшему основанию, то второй отрезок равен $$10 \text{ дм}$$. Высота в равнобедренном треугольнике равна половине разности оснований.

Обозначим половину разности оснований за $$x$$. Тогда

$$x = \frac{12 - 2}{2} = 5 \text{ дм}$$

Следовательно, высота $$h$$ равна 5 дм.

• Подставим значения в формулу площади трапеции:

$$S = \frac{2 + 12}{2} \cdot 5 = \frac{14}{2} \cdot 5 = 7 \cdot 5 = 35 \text{ дм}^2$$

Ответ: 35 дм²