Основания равнобедренной трапеции равны 5 и 29, а её периметр равен 74. Найдите площадь этой трапеции.

Пусть основания трапеции a = 5 и b = 29, а боковые стороны равны c. Периметр трапеции P = a + b + 2c. Тогда:

$$74 = 5 + 29 + 2c$$ $$2c = 74 - 34 = 40$$ $$c = 20$$

Проведём высоты из вершин меньшего основания к большему. Высоты отсекут два равных прямоугольных треугольника. Отрезок большего основания между высотами равен меньшему основанию, то есть 5. Тогда на каждый прямоугольный треугольник приходится:

$$ \frac{29-5}{2} = \frac{24}{2} = 12 $$

Высоту трапеции найдём по теореме Пифагора:

$$ h = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16 $$

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

$$ S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{5+29}{2} \cdot 16 = \frac{34}{2} \cdot 16 = 17 \cdot 16 = 272 $$

Ответ: 272