12) Основания трапеции равны 3 и 16, одна из боковых сторон равна 16√2, а угол между ней и одним из оснований равен 135°. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана трапеция ABCD, где BC = 3 и AD = 16, AB = 16√2 и угол A = 135°.

Проведем высоту BH к основанию AD.

Тогда угол ABH = 180° - 135° = 45°.

В прямоугольном треугольнике ABH угол ABH = 45°, значит, угол BAH = 90° - 45° = 45°.

Следовательно, треугольник ABH - равнобедренный, и AH = BH.

По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AH^2 + BH^2$$

$$(16\sqrt{2})^2 = BH^2 + BH^2$$

$$256 \cdot 2 = 2BH^2$$

$$512 = 2BH^2$$

$$BH^2 = 256$$

$$BH = \sqrt{256} = 16$$

Площадь трапеции равна:

$$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{3 + 16}{2} \cdot 16 = \frac{19}{2} \cdot 16 = 19 \cdot 8 = 152$$

Ответ: 152