11) Основания трапеции равны 6 и 20, одна из боковых сторон равна 13/2, а угол между ней и одним из оснований равен 135°. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана трапеция ABCD, где BC = 6 и AD = 20, AB = 13/2 и угол A = 135°.

Проведем высоту BH к основанию AD.

Тогда угол ABH = 180° - 135° = 45°.

В прямоугольном треугольнике ABH угол ABH = 45°, значит, угол BAH = 90° - 45° = 45°.

Следовательно, треугольник ABH - равнобедренный, и AH = BH.

По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AH^2 + BH^2$$

$$(\frac{13}{2})^2 = BH^2 + BH^2$$

$$\frac{169}{4} = 2BH^2$$

$$BH^2 = \frac{169}{8}$$

$$BH = \sqrt{\frac{169}{8}} = \frac{13}{2\sqrt{2}} = \frac{13\sqrt{2}}{4}$$

Площадь трапеции равна:

$$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{6 + 20}{2} \cdot \frac{13\sqrt{2}}{4} = \frac{26}{2} \cdot \frac{13\sqrt{2}}{4} = 13 \cdot \frac{13\sqrt{2}}{4} = \frac{169\sqrt{2}}{4}$$

Ответ: $$\frac{169\sqrt{2}}{4}$$