15) Основания трапеции равны 9 и 54, одна из боковых сторон равна 27, a косинус угла между ней и одним из оснований равен \frac{\sqrt{65}}{9}. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана трапеция ABCD, где BC = 9 и AD = 54, AB = 27 и cos(A) = \(\frac{\sqrt{65}}{9}\).

Проведем высоту BH к основанию AD.

В прямоугольном треугольнике ABH:

$$cos(A) = \frac{AH}{AB}$$

$$\frac{\sqrt{65}}{9} = \frac{AH}{27}$$

$$AH = \frac{27\sqrt{65}}{9} = 3\sqrt{65}$$

По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AH^2 + BH^2$$

$$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 27^2 - (3\sqrt{65})^2 = 729 - 9 \cdot 65 = 729 - 585 = 144$$

$$BH = \sqrt{144} = 12$$

Площадь трапеции равна:

$$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{9 + 54}{2} \cdot 12 = \frac{63}{2} \cdot 12 = 63 \cdot 6 = 378$$

Ответ: 378