10. Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а тангенс угла между ней и одним из оснований равен \(\frac{\sqrt{2}}{4}\). Найдите площадь трапеции.

Обозначим основания трапеции как \(a = 18\) и \(b = 12\). Боковая сторона равна \(c = 6\), а тангенс угла между этой боковой стороной и основанием равен \(\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{4}\). Сначала найдем высоту трапеции \(h\). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком основания. Тогда: \(\tan(\alpha) = \frac{h}{x}\) где \(x\) - проекция боковой стороны на большее основание. Следовательно: \(h = x \cdot \tan(\alpha) = x \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}\) Также, по теореме Пифагора, \(x^2 + h^2 = c^2\): \(x^2 + (x \cdot \frac{\sqrt{2}}{4})^2 = 6^2\) \(x^2 + x^2 \cdot \frac{2}{16} = 36\) \(x^2 + \frac{1}{8}x^2 = 36\) \(\frac{9}{8}x^2 = 36\) \(x^2 = \frac{36 \cdot 8}{9} = 4 \cdot 8 = 32\) \(x = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\) Теперь найдем высоту \(h\): \(h = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} = 2\) Площадь трапеции вычисляется по формуле: \(S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{18+12}{2} \cdot 2 = \frac{30}{2} \cdot 2 = 30\) Ответ: **30**