10. От пристани А и пристани В, расстояние между которыми равно 70 км, отправился с постоянной скоростью первый тепло- ход, а через 1 час после этого следом за ним, со скоростью, на 8 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого тепло- хода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно.

Ответ: 27 км/ч

1. Пусть скорость первого теплохода равна \(v\) км/ч. Тогда скорость второго теплохода равна \(v + 8\) км/ч.
2. Время, которое первый теплоход затратил на путь от A до B, равно \(\frac{70}{v}\) часов.
3. Второй теплоход вышел на 1 час позже, поэтому его время в пути составляет \(\frac{70}{v+8}\) часов.
4. Поскольку оба теплохода прибыли в пункт B одновременно, время в пути первого теплохода на 1 час больше, чем у второго. Составим уравнение: \[\frac{70}{v} = \frac{70}{v+8} + 1\]
5. Решим уравнение: \[\frac{70}{v} - \frac{70}{v+8} = 1\] \[\frac{70(v+8) - 70v}{v(v+8)} = 1\] \[\frac{70v + 560 - 70v}{v^2 + 8v} = 1\] \[\frac{560}{v^2 + 8v} = 1\] \[v^2 + 8v = 560\] \[v^2 + 8v - 560 = 0\]
6. Решим квадратное уравнение: \(D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-560) = 64 + 2240 = 2304\) \[v_1 = \frac{-8 + \sqrt{2304}}{2} = \frac{-8 + 48}{2} = \frac{40}{2} = 20\] \[v_2 = \frac{-8 - \sqrt{2304}}{2} = \frac{-8 - 48}{2} = \frac{-56}{2} = -28\] Так как скорость не может быть отрицательной, то \(v = 20\) км/ч.
7. Проверим условие задачи. Скорость второго теплохода \(20 + 8 = 28\) км/ч. Время первого теплохода \(\frac{70}{20} = 3.5\) часа, время второго теплохода \(\frac{70}{28} = 2.5\) часа. Разница во времени составляет 1 час.

Ответ: 20 км/ч