От пристани А к пристани В, расстояние между которым равно 108 км, первый теплоход отправился с постоянной скоростью, а через 3 ч после этого следом за ним со скоростью, 3 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым.

Решение:

Пусть \( v \) км/ч — скорость первого теплохода.

Тогда \( v + 3 \) км/ч — скорость второго теплохода.

Время движения первого теплохода: \( t_1 = \frac{108}{v} \) ч.

Время движения второго теплохода: \( t_2 = \frac{108}{v+3} \) ч.

По условию, второй теплоход отправился на 3 часа позже первого и прибыл одновременно, значит, время его движения на 3 часа меньше:

\( t_1 - t_2 = 3 \)

\( \frac{108}{v} - \frac{108}{v+3} = 3 \)

Разделим всё уравнение на 3:

\( \frac{36}{v} - \frac{36}{v+3} = 1 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{36(v+3) - 36v}{v(v+3)} = 1 \)

\( \frac{36v + 108 - 36v}{v^2 + 3v} = 1 \)

\( \frac{108}{v^2 + 3v} = 1 \)

\( v^2 + 3v = 108 \)

\( v^2 + 3v - 108 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант \( D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 9 + 432 = 441 \)

\( \sqrt{D} = 21 \)

\( v_1 = \frac{-3 + 21}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)

\( v_2 = \frac{-3 - 21}{2} = -12 \) (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной).

Скорость первого теплохода \( v = 9 \) км/ч.

Скорость второго теплохода \( v + 3 = 9 + 3 = 12 \) км/ч.

Ответ: 12 км/ч.