Упростите выражение \(\frac{a^2}{a^2 + 2ab + b^2} : \left(\frac{a}{a + b} - \frac{ab}{b^2 - a^2}\right)\).

Решение:

1. Приведём к общему знаменателю вторую дробь в скобках, учитывая, что \( b^2 - a^2 = -(a^2 - b^2) = -(a-b)(a+b) \):
   \( \frac{a}{a + b} - \frac{ab}{b^2 - a^2} = \frac{a}{a + b} - \frac{ab}{-(a^2 - b^2)} = \frac{a}{a + b} + \frac{ab}{(a-b)(a+b)} \)
   Общий знаменатель \( (a-b)(a+b) \).
   \( = \frac{a(a-b)}{(a+b)(a-b)} + \frac{ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2 - ab + ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2}{(a-b)(a+b)} \)
2. Знаменатель первой дроби \( a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 \).
3. Теперь выполним деление: \( \frac{a^2}{(a+b)^2} : \frac{a^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2}{(a+b)^2} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{a^2} \)
4. Сократим: \( \frac{\cancel{a^2}}{(a+b)^{\cancel{2}}}} \cdot \frac{(a-b)}{\cancel{a^2}}} = \frac{a-b}{a+b} \)

Ответ: \(\frac{a-b}{a+b}\).