От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 108 км, первый теплоход отправился с постоянной скоростью, а через 3 ч после этого следом за ним со скоростью, на 3 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым.

Решение задачи

Обозначения:

• Пусть \( v_1 \) — скорость первого теплохода (км/ч).
• Тогда \( v_2 = v_1 + 3 \) — скорость второго теплохода (км/ч).
• Расстояние \( S = 108 \) км.

Составим уравнения движения:

1. Время первого теплохода: \( t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{108}{v_1} \)
2. Время второго теплохода: \( t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{108}{v_1 + 3} \)
3. Второй теплоход отправился на 3 часа позже, но прибыл одновременно с первым, значит, его время в пути на 3 часа меньше: \( t_1 - t_2 = 3 \)
4. Подставим выражения для времени: \( \frac{108}{v_1} - \frac{108}{v_1 + 3} = 3 \)
5. Умножим обе части уравнения на \( v_1(v_1 + 3) \) чтобы избавиться от знаменателей:
6. \( 108(v_1 + 3) - 108v_1 = 3v_1(v_1 + 3) \)
7. Раскроем скобки:
8. \( 108v_1 + 324 - 108v_1 = 3v_1^2 + 9v_1 \)
9. Упростим: \( 324 = 3v_1^2 + 9v_1 \)
10. Перенесём всё в одну сторону и разделим на 3:
11. \( 3v_1^2 + 9v_1 - 324 = 0 \)
12. \( v_1^2 + 3v_1 - 108 = 0 \)
13. Решим квадратное уравнение через дискриминант:
14. \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-108) = 9 + 432 = 441 \)
15. \( \sqrt{D} = \sqrt{441} = 21 \)
16. Найдем корни:
17. \( v_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 21}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)
18. \( v_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 21}{2} = \frac{-24}{2} = -12 \)
19. Так как скорость не может быть отрицательной, \( v_1 = 9 \) км/ч.
20. Найдем скорость второго теплохода: \( v_2 = v_1 + 3 = 9 + 3 = 12 \) км/ч.

Проверка:

• Время первого теплохода: \( t_1 = \frac{108}{9} = 12 \) часов.
• Время второго теплохода: \( t_2 = \frac{108}{12} = 9 \) часов.
• Разница во времени: \( 12 - 9 = 3 \) часа, что соответствует условию задачи.

Ответ: Скорость второго теплохода — 12 км/ч.