Упростите выражение a² / (a² + 2ab + b²) : (a / (a + b) - ab / (b² - a²)).

Упрощение выражения

Чтобы упростить выражение \( \frac{a^2}{a^2 + 2ab + b^2} : \left( \frac{a}{a+b} - \frac{ab}{b^2 - a^2} \right) \), выполним действия по шагам:

1. Преобразуем знаменатели: \( a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 \) и \( b^2 - a^2 = (b-a)(b+a) = -(a-b)(a+b) \).
2. Первая дробь: \( \frac{a^2}{(a+b)^2} \).
3. Приведём выражение в скобках к общему знаменателю. Общий знаменатель для \( a+b \) и \( b^2-a^2 \) — это \( (a+b)^2 \).
4. \( \frac{a}{a+b} = \frac{a(a+b)}{(a+b)^2} = \frac{a^2+ab}{(a+b)^2} \)
5. \( \frac{ab}{b^2 - a^2} = \frac{ab}{-(a^2 - b^2)} = \frac{ab}{-(a-b)(a+b)} = \frac{-ab}{(a-b)(a+b)} \).
6. У нас разница в знаках, поэтому проще взять общий знаменатель \( (a+b)^2 \) и \( a^2-b^2 \) или \( b^2-a^2 \). Возьмем \( (a+b)^2(a-b) \) или \( (a+b)^2(b-a) \).
7. Давайте перепишем \( b^2 - a^2 \) как \( -(a^2 - b^2) \) и \( a+b \) как \( a+b \).
8. \( \frac{a}{a+b} - \frac{ab}{b^2 - a^2} = \frac{a}{a+b} - \frac{ab}{-(a^2 - b^2)} = \frac{a}{a+b} + \frac{ab}{a^2 - b^2} \)
9. \( \frac{a}{a+b} + \frac{ab}{(a-b)(a+b)} \)
10. Приведём к общему знаменателю \( (a+b)(a-b) \):
11. \( \frac{a(a-b)}{(a+b)(a-b)} + \frac{ab}{(a+b)(a-b)} = \frac{a^2 - ab + ab}{(a+b)(a-b)} = \frac{a^2}{a^2 - b^2} \)
12. Теперь выполним деление: \( \frac{a^2}{(a+b)^2} : \frac{a^2}{a^2 - b^2} \)
13. Деление на дробь равно умножению на обратную дробь: \( \frac{a^2}{(a+b)^2} \cdot \frac{a^2 - b^2}{a^2} \)
14. Сокращаем \( a^2 \): \( \frac{1}{(a+b)^2} \cdot \frac{a^2 - b^2}{1} \)
15. Раскладываем \( a^2 - b^2 \) как разность квадратов: \( \frac{1}{(a+b)^2} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{1} \)
16. Сокращаем \( (a+b) \): \( \frac{1}{a+b} \cdot \frac{a-b}{1} \)
17. Итоговый результат: \( \frac{a-b}{a+b} \)

Ответ: \( \frac{a-b}{a+b} \).