От железнодорожной станции в 6-00 отправился фирменный скорый поезд. За 12 минут до него в противоположном направлении вышел пассажирский, причём скорость пассажирского в 1,2 раза меньше скорости фирменного поезда. В 9-00 между поездами было 680км. Найдите скорости каждого поезда.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим время в пути для каждого поезда.
   Поезда встретились в 9:00. Фирменный поезд отправился в 6:00, значит, он был в пути \( 9 - 6 = 3 \) часа. Пассажирский поезд вышел за 12 минут до фирменного, то есть в 5:48. Следовательно, он был в пути \( 9:00 - 5:48 = 3 \) часа и \( 12 \) минут, что составляет \( 3 + \frac{12}{60} = 3 + \frac{1}{5} = 3,2 \) часа.
2. Шаг 2: Обозначим неизвестные.
   Пусть \( v_ф \) — скорость фирменного поезда (км/ч), а \( v_п \) — скорость пассажирского поезда (км/ч).
3. Шаг 3: Составим уравнения на основе условий задачи.
   Скорость пассажирского в 1,2 раза меньше скорости фирменного: \( v_п = \frac{v_ф}{1,2} \).
   Расстояние, которое проехал фирменный поезд: \( S_ф = v_ф \cdot 3 \).
   Расстояние, которое проехал пассажирский поезд: \( S_п = v_п \cdot 3,2 \).
   Общее расстояние между поездами в 9:00 равно 680 км, так как они двигались в противоположных направлениях: \( S_ф + S_п = 680 \).
4. Шаг 4: Подставим и решим систему уравнений.
   Подставим \( v_п \) в уравнение для общего расстояния:
   \( 3v_ф + \frac{v_ф}{1,2} \cdot 3,2 = 680 \)
   \( 3v_ф + \frac{3,2}{1,2}v_ф = 680 \)
   \( 3v_ф + \frac{32}{12}v_ф = 680 \)
   \( 3v_ф + \frac{8}{3}v_ф = 680 \)
   Приведем к общему знаменателю 3:
   \( \frac{9v_ф + 8v_ф}{3} = 680 \)
   \( \frac{17v_ф}{3} = 680 \)
   \( 17v_ф = 680 \cdot 3 \)
   \( 17v_ф = 2040 \)
   \( v_ф = \frac{2040}{17} = 120 \) км/ч.
5. Шаг 5: Найдем скорость пассажирского поезда.
   \( v_п = \frac{v_ф}{1,2} = \frac{120}{1,2} = 100 \) км/ч.

Ответ: Скорость фирменного поезда — 120 км/ч, скорость пассажирского поезда — 100 км/ч.