149 Отрезки АВ и CD — диаметры окруж- ности. Докажите свойства хорд: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС равны; в) ∠BAD = ∠BCD.

Дано: AB и CD - диаметры окружности с центром O.

Доказать:

1. BD = AC
2. AD = BC
3. ∠BAD = ∠BCD.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ΔDOC и ΔBOA:
   1. DO = OB (как радиусы),
   2. OC = OA (как радиусы),
   3. ∠DOC = ∠BOA (как вертикальные углы).

   Следовательно, ΔDOC = ΔBOA по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что DC = AB.

2. Рассмотрим треугольники ΔAOD и ΔCOB:
   1. AO = OC (радиусы),
   2. DO = OB (радиусы),
   3. ∠AOD = ∠COB (вертикальные углы).

   Следовательно, ΔAOD = ΔCOB по первому признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует, что AD = BC.

3. Углы ∠BAD и ∠BCD - вписанные и опираются на равные хорды BD и AC, значит, ∠BAD = ∠BCD.

Ответ: Утверждения доказаны.