27. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине. Докажите, что примые АС и BD параллельны.

Пусть точка O - середина отрезков AB и CD. Тогда AO = OB и CO = OD.

Рассмотрим треугольники AOC и BOD. У них:

• AO = OB (по условию)
• CO = OD (по условию)
• ∠AOC = ∠BOD (как вертикальные углы)

Следовательно, треугольники AOC и BOD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, то есть ∠ACO = ∠BDO.

Углы ACO и BDO являются накрест лежащими углами при прямых AC и BD и секущей CD. Поскольку накрест лежащие углы равны, то прямые AC и BD параллельны.

Что и требовалось доказать.