166 Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О. Точки М и N — середины отрезков АС и BD. Докажите, что точка О — середина отрезка МΝ.

Для доказательства того, что точка O является серединой отрезка MN, можно воспользоваться свойствами параллелограмма. Соединим точки M и N с точкой O.

1) Рассмотрим четырехугольник ACBD. Так как точка О является серединой отрезков AB и CD (по условию), то ACBD – параллелограмм (если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм).

2) В параллелограмме ACBD противоположные стороны AC и BD параллельны и равны.

3) Точки M и N – середины сторон AC и BD соответственно. Следовательно, AM = \(\frac{1}{2}\) AC и BN = \(\frac{1}{2}\) BD.

4) Так как AC = BD, то AM = BN.

5) Так как AC || BD, то AM || BN.

6) Рассмотрим четырехугольник AMNB. У него две стороны AM и BN параллельны и равны. Следовательно, AMNB – параллелограмм.

7) В параллелограмме AMNB противоположные стороны AN и BM параллельны и равны.

8) Рассмотрим треугольники AON и BOM. У них:

• AO = BO (по условию)
• \(\angle\) OAN = \(\angle\) OBM (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AN и BM и секущей AB)
• AN = BM (как противоположные стороны параллелограмма AMNB)

Следовательно, треугольники AON и BOM равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

9) Из равенства треугольников AON и BOM следует, что ON = OM.

10) Так как ON = OM, то точка O является серединой отрезка MN.

Ответ: доказано, что точка O – середина отрезка MN.