167 Стороны равностороннего треугольника АВС продолжены, как показано на рисунке 94, на равные отрезки AD, CE, BF. Докажите, что треугольник DEF — равносторонний.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ADF, FEC и EBD.

1) Так как треугольник ABC равносторонний, то AB = BC = AC и \(\angle\)BAC = \(\angle\)ABC = \(\angle\)BCA = 60°.

2) По условию AD = CE = BF.

3) Следовательно, AD + AB = CE + BC = BF + AC, то есть DB = EC = FA.

4) Рассмотрим треугольники ADF и FEC. У них:

• AD = CE (по условию)
• AF = EC (как DB)
• \(\angle\)DAF = \(\angle\)ECF = 120° (как смежные углы с углами 60° равностороннего треугольника ABC)

5) Следовательно, треугольники ADF и FEC равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

6) Из равенства треугольников ADF и FEC следует, что DF = FE.

7) Аналогично можно доказать равенство треугольников FEC и EBD, а, следовательно, и равенство FE = ED.

8) Так как DF = FE = ED, то треугольник DEF – равносторонний.

Ответ: доказано, что треугольник DEF равносторонний.