4*. В трапеции ABCD (AD и ВС основания) диагонали пересекаются в точке O, SAOD = 32 см², SBOC = 8 см². Найдите меньшее основание трапеции, если большее из них равно 10 см.

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC, диагонали которой пересекаются в точке O. Треугольники AOD и BOC подобны, так как углы при основаниях равны (накрест лежащие углы при параллельных прямых).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно:

$$\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = k^2$$

где k - коэффициент подобия.

Подставим значения:

$$\frac{32}{8} = k^2$$ $$k^2 = 4$$ $$k = 2$$

Так как k = 2, то отношение оснований равно 2:

$$\frac{AD}{BC} = 2$$

Пусть AD - большее основание, равное 10 см. Тогда:

$$\frac{10}{BC} = 2$$ $$BC = \frac{10}{2} = 5 \text{ см}$$

Ответ: 5 см