1. Рис. 857. Дано: РЕ || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6. Найти: а) МК; 6) PE : NK; B) SMEP : SMKN-

a) Рассмотрим подобные треугольники MPE и MNK. Из условия PE || NK следует, что углы MPE и MNK равны как соответственные углы при параллельных прямых и секущей. Угол M - общий. Следовательно, треугольники MPE и MNK подобны по двум углам.

Запишем отношение сторон:

$$\frac{ME}{MK} = \frac{MP}{MN}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{6}{MK} = \frac{8}{12}$$

Решим уравнение для MK:

$$MK = \frac{6 \cdot 12}{8} = \frac{72}{8} = 9$$

MK = 9

б) Найдем отношение PE : NK. Из подобия треугольников MPE и MNK следует:

$$\frac{PE}{NK} = \frac{ME}{MK} = \frac{MP}{MN}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{PE}{NK} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$

в) Найдем отношение площадей S_MEP : S_MKN.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{MEP}}{S_{MKN}} = \left(\frac{ME}{MK}\right)^2 = \left(\frac{MP}{MN}\right)^2 = \left(\frac{PE}{NK}\right)^2$$

Используем найденное отношение PE : NK = 2/3:

$$\frac{S_{MEP}}{S_{MKN}} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$$

Ответ: a) MK = 9; б) PE : NK = 2/3; в) S_MEP : S_MKN = 4/9